Priprava na test · logaritmi

Logaritmi v petih korakih

Pojdi po vrsti. Vsak korak je kratek, na koncu pa so vaje, ki so enake kot primeri za test. Odgovor vpišeš in takoj vidiš, ali je prav.

1. Kaj sploh je logaritem?

Logaritem je vprašanje:

log₂ 8 = ?

pomeni: na katero potenco moram dati 2, da dobim 8? Ker je 2 · 2 · 2 = 2³ = 8, je odgovor 3.

log_a b = c ⟺ a^c = b

a je osnova (majhna številka spodaj). Logaritem je le drugačen zapis potence. Ta preklop naprej in nazaj je cela skrivnost.

Preizkusi:

Zadnja dva si zapomni: log_a a = 1 (a¹ = a) in log_a 1 = 0 (a⁰ = 1).

2. Tri pravila

Vsa veljajo samo, kadar imajo logaritmi isto osnovo.

Pravilo	Po domače	Primer
log x + log y = log (x · y)	plus pomeni krat	log₂ 4 + log₂ 8 = log₂ 32 = 5
log x − log y = log (x : y)	minus pomeni deljeno (ulomek)	log₂ 32 − log₂ 4 = log₂ 8 = 3
n · log x = log xⁿ	število pred logaritmom skoči v potenco	3 · log₂ a = log₂ a³

Tretje pravilo deluje v obe smeri: log₂ a³ = 3 · log₂ a.

Past: log (x + y) ni log x + log y. Pravila veljajo samo, ko je med logaritmi plus ali minus, ne znotraj enega logaritma.

Pogoji: pod logaritmom mora biti pozitivno število (zato so pri primerih a, b, x > 0). Če osnova ni napisana, je log x isto kot log₁₀ x.

3. Trik: navadno število spremeni v logaritem

Če imaš na eni strani same logaritme in vmes eno navadno število, ga moraš tudi zapisati kot logaritem. Uporabi isto osnovo:

število = log_osnova (osnova^število)

3 = log₂ 2³ = log₂ 8
6 = log₂ 2⁶ = log₂ 64
1 = log₃ 3¹ = log₃ 3
2 = log₅ 5² = log₅ 25

4. Primer a): izrazi x

½ · log₂ x = 4 · log₂ a + 3 − 2 · log₂ b

Klikni vsak korak, preden ga pogledaš, in najprej sama pomisli, kaj bi naredila.

Korak 1: znebi se ½

Vse pomnožimo z 2, da ½ izgine. Pomnoži vsak člen, tudi trojko:

log₂ x = 8 · log₂ a + 6 − 4 · log₂ b

Korak 2: števila pred logaritmom skočijo v potenco

8 · log₂ a = log₂ a⁸ in 4 · log₂ b = log₂ b⁴

log₂ x = log₂ a⁸ + 6 − log₂ b⁴

Korak 3: število 6 spremeni v logaritem

6 = log₂ 2⁶ = log₂ 64

log₂ x = log₂ a⁸ + log₂ 64 − log₂ b⁴

V zvezku je pri tem koraku napisano »6³«. Pravilno je 2⁶ = 64, končni rezultat v zvezku pa je pravilen.

Korak 4: plus = krat, minus = deljeno

log₂ x = log₂ 64 a⁸b⁴

Korak 5: na obeh straneh je log₂, zato ga »prečrtamo«

x = 64 a⁸b⁴

Ko je na levi samo log₂ x in na desni samo log₂ (nekaj), je x enak temu »nekaj«.

Recept: 1) znebi se ulomka pred log x, 2) števila pred log v potence, 3) navadno število v log, 4) plus = krat, minus = deljeno, 5) prečrtaj log.

5. Primer b): logaritem v logaritmu

log₃ (1 + log₂ (x + 3)) = 1

Trik je, da vse, kar je v oklepaju, imenuješ »nekaj« in odstraniš logaritme od zunaj navznoter, enega za drugim.

Korak 1: zunanji logaritem

log₃ (nekaj) = 1 pomeni nekaj = 3¹ = 3. Za »nekaj« vstavimo celoten oklepaj:

1 + log₂ (x + 3) = 3

Korak 2: enico prenesi na drugo stran

log₂ (x + 3) = 2

Korak 3: notranji logaritem

log₂ (nekaj) = 2 pomeni nekaj = 2² = 4:

x + 3 = 4

Korak 4: izračunaj x

x = 1

Korak 5: preizkus (na testu prinese točke)

log₂ (1 + 3) = log₂ 4 = 2, potem 1 + 2 = 3, in log₃ 3 = 1 ✓

Pod logaritmom mora biti vedno pozitivno število. Če x da 0 ali negativno število pod logaritmom, ta rešitev ne velja.

Recept: log_osnova (nekaj) = število ⟹ nekaj = osnova^število. Ponavljaj, dokler ne ostane x.

Vaje, enake kot na testu

Tip a): izrazi x (izberi pravilen odgovor)

log₂ x = 3 · log₂ a + 2 − log₂ b

½ · log₃ x = 2 · log₃ a − log₃ b + 1

⅓ · log₂ x = log₂ a + 1

2 · log₅ x = 4 · log₅ a + 2 − 6 · log₅ b

Tip b): reši enačbo (vpiši x)

Bonus: ena rešitev odpade

Povzetek za zadnji pogled pred testom

log_a b = c ⟺ a^c = b
log_a a = 1 · log_a 1 = 0
plus = krat · minus = deljeno · število pred log = potenca
navadno število: n = log_a aⁿ
izrazi x: vse na log z isto osnovo, nato prečrtaj log
log v log: od zunaj navznoter, log_a(nekaj) = n ⟹ nekaj = aⁿ
na koncu preizkus: pod logaritmom mora biti pozitivno število

Srečno jutri! 🍀